1
Easy2Siksha
GNDU -2022
- III
: : 100
: - ,
-
1. x (TC) :
C = 60 - 12x + 2x2 . (AC) (x) '
AC - ', AC =
MC ' (MC)
2. :
u = xy2 - 3x - 5y , fxy =fyx
-
3. , p = 10 - x - x2 p = x - 2
, ' (CS) (PS)
4. :
2
Easy2Siksha
(i)∫ 𝒙
𝟐
ⅇ
𝒙
ⅆ𝒙
(ii)∫ 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ⅆ𝒙
-
5.
6. :
3 4 2
1 0 1
5 6 7
-
7. ()
(8) Z = 2x_{1} -
3x_{2}
:
4x_{1} + 5x_{2} <= 40
x_{1} + 3x_{2} <= 12
x__{1} - x__{2} >= 2
x__{1} >= 4
x__{1}, x__{2} >= 0
8. - -
:
3
Easy2Siksha
0.20
0.05
0.20
0.25
500 200
4
Easy2Siksha
GNDU -2022
- III
: : 100
: - ,
-
1. x (TC) :
C = 60 - 12x + 2x2 . (AC) (x) '
AC - ', AC =
MC ' (MC)
1. : : : C = 60 -
12x + 2x² C , x
-
:
• 60: ,
• -12x:
• 2x²:
,
2. (AC) :
,
x
:
AC = C / x AC = (60 - 12x + 2x²) / x AC = 60/x - 12 + 2x
5
Easy2Siksha
- '
3. AC : AC - ,
x AC
:
d(AC)/dx = -60/x² + 2 = 0
:-60/x² = -2 60/x² = 2 x² = 30 x = √30 ≈ 5.48
5.48 -
4. AC = - ' MC: ,
- ', (AC) (MC)
, MC
:
MC = d(TC)/dx = -12 + 4x
x = √30 ': AC = 60/√30 - 12 + 2√30 ≈ 10.95 MC = -12 + 4√30 ≈ 10.95
, AC MC ' ,
5. (MC) - :
MC - ,
MC ' :
d(MC)/dx = 4 = 0
, MC -
, x ' ,
0
x = 0 ', MC = -12,
, :
: ,
-
,
(TC):TC (C = 60 - 12x + 2x²)
x
:
6
Easy2Siksha
• (60)
• -12x ,
• , 2x²
',
, ' , - ,
(AC):AC (AC = 60/x - 12 + 2x) - '
' U- :
• ', , AC
• , AC
• ,
AC (x ≈ 5.48 ')
" "
(MC):MC (MC = -12 + 4x)
:
• MC (-12 x = 0) ,
• x , MC '
• MC -
(x = 0 ),
AC MC : AC - ' AC = MC
:
• AC , MC AC ( )
• AC , MC AC ( )
• ' AC , MC AC
MC < AC,
MC > AC,
7
Easy2Siksha
:
• :x ≈ 5.48 '
• : - ' AC MC
', AC ,
MC
• :TC
(
) (
)
• - : AC ,
'
• ' : MC
MC , '
:
• : -
• :
• - : , ,
-
• : ,
• : ,
,
,
,
, ,
-
,
8
Easy2Siksha
2. :
u = xy2 - 3x - 5y , fxy =fyx
- :
,
, : x y.
a) x (∂u/∂x fx) : ,
y
x
∂u/∂x = y² - 3
:
• x xy² y² (y )
• -3x -3
• -5y
x
b) y (∂u/∂y fy) : ,
x y
∂u/∂y = 2xy - 5
:
• y xy² 2xy (x )
• -3x
y
• -5y -5
2. - :
,
-
a) x (∂²u/∂x² fxx) : x fx
∂²u/∂x² = 0
x y² - 3 0 (y
)
9
Easy2Siksha
b) y (∂²u/∂y² fyy) : y y fy
∂²u/∂y² = 2x
y 2xy - 5 2x (x
)
c) (∂²u/∂x∂y fxy): x , y
fx = y² - 3 ,
y :
∂²u/∂x∂y = 2y
d) (∂²u/∂y∂x fyx): y , x
fy = 2xy - 5 ,
x :
∂²u/∂y∂x = 2y
3. fxy = fyx:
:
fxy = ∂²u/∂x∂y = 2y fy = ∂²u/∂y∂ = 2y
,
fxy = fyx
,
:
:
-
u = xy² - 3x - 5y , , x y, -
:
1. ∂u/∂x = y² - 3
y , x u
y²
y '
2. ∂u/∂y = 2xy - 5
x , y u
2xy
x y '
10
Easy2Siksha
- :
-
1. ∂²u/∂x² = 0 x
x
, x-
2. ∂²u/∂y² = 2x y ,
x ' x , y
:
fxy fyx
, 2y
, :
1.
y , x
2. x , y
3. (2) '
fxy = fyx :
(fxy = fyx)
,
:
1.
:
2.
3.
- :
:
1. :
- ,
11
Easy2Siksha
2. : ,
,
3. : ,
4. : ,
, '
:
u = xy² - 3x - 5y - '
(x, y, u) x y u
• xy²
y ,
x
• -3x
x
• -5y y
, -
:
u = xy² - 3x - 5y ,
,
:
• ∂u/∂x = y² - 3
• ∂u/∂y = 2xy - 5
• ∂²u/∂x² = 0
• ∂²u/∂y² = 2x
• ∂²u/∂x∂y = ∂²u/∂y∂x = 2y
,
x y
(fxy = fyx)
,
, ,
12
Easy2Siksha
-
-
3. , p = 10 - x - x2 p = x - 2
, ' (CS) (PS)
2: ', ,
:
10 - x - x² = x - 2
, : 10 - x - x² = x - 2 12 = 2x + x² x² + 2x - 12 = 0
: x = [-
b ± √(b² - 4ac)] / 2a
a = 1, b = 2, c = -12
x = [-2 ± √(4 - 4(1)(-12))] / 2(1) x = [-2 ± √52] / 2 x = [-2 ± 7.211] / 2
: x₁ = (-2 + 7.211) / 2 = 2.6055 x₂ = (-2 - 7.211) / 2 = -4.6055
,
x = 2.6055 (4 )
3:
:
p = 10 - x - x² p = 10 - 2.6055 - (2.6055)² p = 10 - 2.6055 - 6.7886 p = 0.6059
, 0.6059
4: (CS)
, 0
CS = ∫[0 2.6055] (10 - x - x²) dx - (0.6059 * 2.6055)
13
Easy2Siksha
: ∫(10 - x - x²) dx = 10x - x²/2 - x³/3
0 2.6055 : CS = [10(2.6055) - (2.6055)²/2 - (2.6055)³/3] - [10(0) - 0²/2 - 0³/3] -
(0.6059 * 2.6055) CS = [26.055 - 3.3943 - 5.8924] - 0 - 1.5787 CS = 16.7683 - 1.5787 CS =
15.1896
5: (PS)
0
PS = (0.6059 * 2.6055) - ∫[0 2.6055] (x - 2) dx
: ∫(x - 2) dx = x²/2 - 2x
0 2.6055 : PS = (0.6059 * 2.6055) - [(2.6055)²/2 - 2(2.6055)] - [0²/2 - 2(0)] PS =
1.5787 - [3.3943 - PS = 5.711] - (-1.8167) PS = 3.3954
,
:
- '
1. :
- '
', - ,
'
, p = 10 - x - x² ,
x x²
- , ,
2. :
- '
', ,
'
, p = x - 2 ,
x
- ,
,
3. :
, ,
,
2.6055
0.6059
14
Easy2Siksha
:
'
',
,
15.1896
,
$10
, $7 ' $3
:
1. '
2.
3. '
:
'
-
',
,
3.3954
,
$5 , $8 $3
- -
:
1. '
2.
15
Easy2Siksha
3. '
:
,
, 15.1896 + 3.3954 = 18.5850
:
1. :
(, , )
'
" "
2. : -
,
, '
3. :
,
4. :
,
-
,
- -
,
,
,
,
- - ,
, ,
16
Easy2Siksha
4. :
(i)∫ 𝒙
𝟐
ⅇ
𝒙
ⅆ𝒙
(ii)∫ 𝒍𝒐𝒈 𝒙 ⅆ𝒙
: :
,
,
,
, :
1. ( )
2.
3.
4.
5.
,
:
'
, ' ' ,
:
∫u dv = uv - ∫v du
u v x , du dv
, :
(i):∫x^2 e^x dx
: x^2 e^x
-- :
1:u dv ' u '
, dv '
u = x^2 ( ' ) dv = e^x dx ( )
17
Easy2Siksha
2:du v du = 2x dx (x^2 ) v = e^x (e^x )
3: ∫x^2 e^x dx = x^2 e^x - ∫e^x (2x dx)
4: : x^2 e^x - 2∫xe^x dx
∫xe^x dx
u = x dv = e^x dx
du = dx v = e^x
∫xe^x dx = xe^x - ∫e^x dx = xe^x - e^x + C
5: ∫x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(xe^x - e^x + C) = x^2 e^x - 2x
e^ x + 2e^x + C
6: ∫x^2 e^x dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
C
(ii): ∫log x dx
,
1: ∫log x dx = ∫ln x dx ( ln
)
2: u dv Let u = ln x Let dv = dx
3:du v du = 1/x dx (ln x ) v = x (dx )
4: ∫ln x dx = x ln x - ∫x (1/x dx) = x ln x - ∫dx =
x ln x - x + C
:
, :
∫x^2 e^x dx : , e^x (x^2 - 2x + 2) + C,
e^x
x^2 ,
-2x +2
,
' - x ""
: d/dx [e^x (x^2 - 2x + 2)] = e^x (x^2 - 2x + 2)
+ e^x (2x - 2) = e ^xx^2
18
Easy2Siksha
∫ln x dx : , x ln x - x + C, x ln x
-x dx
:
y = ln x
, 1
x
x ln x - x + C x
: d/dx [x ln x - x] = ln x + x(1/x) - 1 = ln x
:
- :
1. : e^x
,
2. : ,
3. :
4. : , (e^x )
5. : , ,
:
,
:
1. : -
, n ≠ -1 ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
2. :
, ∫cos(x^2) * 2x dx u = x^2
19
Easy2Siksha
3. :
4. :
:
1. : -
,
'
2. :
, u dv
3. : -
,
4. : (C)
5. :
'
,
6. : ,
'
:
, ∫x^2 e^x dx ∫log x dx,
:
-- ,
,
,
-
,
-
20
Easy2Siksha
,
-
5.
:
,
, , ,
- '
, ,
' ( , A) ,
' aija_{ij}aij , iii jjj
, m× \times nm× m
n
,
:
1. : :
1×31 \times 31×3
2. :
:
3×13 \times
21
Easy2Siksha
3. :
:
22×2
4. : , ,
(- - ) :
3×33
5. :
1 :
1
6. ( ):
:
- , '
7. :
,
:
S=ST
22
Easy2Siksha
8. Skew-Symmetric Matrix: -
, , AT=−AA^T = -AAT=−A :
skew-symmetric
9. :
:
o :
o
o : :
10. - :
o :
,
o - : -
- ,
11. : AAA
, , A×AT=IA \times A^T
= IA×AT=I
'
, :
1. :
2. : ( )
23
Easy2Siksha
3. : AAA BBB AAA
BBB
4. : AAA
5. :
-
6. : AAA , A−1A^{-1}A−1 ,
A×A−1=I
,
, ,
- -
6. :
3 4 2
1 0 1
5 6 7
: 3x3 ,
,
:
?
A , A−1 , , A
', III
1 0 3x3 , :
24
Easy2Siksha
, A⋅A−1=A−1⋅A=I
3x3
1. : ,
3x3
AAA ,
:
2. : AAA :
a 3, b=4b = c=2c, d=1, e=0, f=, g=5g = 5g=5 :
25
Easy2Siksha
−14-14−14 ,
,
,
3. :
2x2
, (, 3) ,
, :
:
0⋅7−1⋅6=−60
, 3 −6-6−6
• 4 ( , ) :
• 2 ( , ) :
26
Easy2Siksha
• 1 ( , ) :
• 0 ( , ) :
• 1 ( , ) :
• 5 ( , ) :
27
Easy2Siksha
• 6 ( , ) :
• 7 ( , ) :
, :
4. : '
:
, :
28
Easy2Siksha
5. ( ) :
,
:
6. :
−14-14−14 ,
−14-14−14 :
:
, :
29
Easy2Siksha
,
AAA A−1A^{-1}A−1
,
-
7. ()
: (LP)
'
,
, , -
LP
:
1.
, $20
, 5 $100 , 10
$200
, -
, , -
2.
' '
, ,
- ,
3. ()
LP
,
- ,
,
12.5 , ,
30
Easy2Siksha
, ', '
4.
LP ( ,
, )
,
, , -
,
5. -
- ,
, ,
6.
LP '
- ,
,
:
, X Y ,
( , , )
,
:
• :X Y
• :, , '
• : X Y
X Y
, ,
, -
' , -
LP , ,
31
Easy2Siksha
,
(8) Z = 2x_{1} -
3x_{2}
:
4x_{1} + 5x_{2} <= 40
x_{1} + 3x_{2} <= 12
x__{1} - x__{2} >= 2
x__{1} >= 4
x__{1}, x__{2} >= 0
:
Z = 2x₁ - 3x₂
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
3. x₁ - x₂ ≥ 2
4. x₁ ≥ 4
5. x₁, x₂ ≥ 0
--
1.
, :
a) :
• Z = 2x₁ - 3x₂
•
32
Easy2Siksha
• x₁ 2
• x₂ 3
b) :
•
• - 5
•
2.
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
3. x₁ - x₂ ≥ 2 → x₁ - x₂ - 2 ≥ 0
4. x₁ ≥ 4
5. x₁ ≥ 0 x₂ ≥ 0
3.
0
:
1. 4x₁ + 5x₂ = 40
o x₁ = 0:5x₂ = 40 → x₂ = 8
o x₂ = 0:4x₁ = 40 → x₁ = 10
o : (0, 8) (10, 0)
2. x₁ + 3x₂ = 12
o x₁ = 0: 3x₂ = 12 → x₂ = 4
o x₂ = 0: x₁ = 12
o : (0, 4) (12, 0)
3. x₁ - x₂ = 2
o x₁ = 0:-x₂ = 2 → x₂ = -2 (
)
o x₂ = 0: x₁ = 2
o : (2, 0) (4, 2)
33
Easy2Siksha
4. x₁ = 4
o x₁ = 4 '
4.
,
:
• 4x₁ + 5x₂ = 40
• x₁ + 3x₂ = 12
• x₁ - x₂ = 2
• x₁ = 4
• (- )
5.
,
:
a) x₁ = 4 x₁ - x₂ = 2
• 4 - x₂ = 2
• x₂ = 2
• :(4, 2)
b) x₁ = 4 x₁ + 3x₂ = 12
• 4 + 3x₂ = 12
• 3x₂ = 8
• x₂ = 2.67
• :(4, 2.67)
c) x₁ = 4 4x₁ + 5x₂ = 40
• 16 + 5x₂ = 40
• 5x₂ = 24
• x₂ = 4.8
• : (4, 4.8)
34
Easy2Siksha
6.
' , :
1. (4, 2) [x₁ = 4 x₁ - x₂ = 2 ]
2. (4, 2.67) [x₁ = 4 x₁ + 3x₂ = 12 ]
7.
' Z = 2x₁ - 3x₂ :
1. (4, 2):Z = 2(4) - 3(2) Z = 8 - 6 Z = 2
2. (4, 2.67):Z = 2(4) - 3(2.67) Z = 8 - 8.01 Z = -0.01
8.
Z ,
Z
:
• (4, 2): = 2
• (4, 2.67):Z = -0.01
, :
• x₁ = 4
• x₂ = 2
• Z = 2
:
1. :
o x₁ = 4: 1 4
o x₂ = 2: 2 2
o Z = 2:
2. :
o x₁ 2
o x₂ 3
35
Easy2Siksha
o ':
▪ x₁ : 2 × 4 = 8
▪ x₂ : 3 × 2 = 6
▪ : 8 - 6 = 2
3. :
o (4, 2) ' :
▪ x₁ = 4 (- )
▪ x₁ - x₂ = 2 ( )
o
o '
:
1. 4x₁ + 5x₂ ≤ 40
o 4(4) + 5(2) = 16 + 10 = 26 ≤ 40 ✓
2. x₁ + 3x₂ ≤ 12
o 4 + 3(2) = 4 + 6 = 10 ≤ 12 ✓
3. x₁ - x₂ ≥ 2
o 4 - 2 = 2 ≥ 2 ✓
4. x₁ ≥ 4
o 4 ≥ 4 ✓
5. x₁, x₂ ≥ 0
o 4 ≥ 0 2 ≥ 0 ✓
,
:
1. x₁ :
o
x₁ = 4 ,
o x₁
36
Easy2Siksha
2. x₂ :
o 2 - x₂
o ,
:
1. :
o x₁ -
o x₂
2. :
o '
:
▪ (4x₁ + 5x₂ ≤ 40)
▪ (x₁ + 3x₂ ≤ 12)
▪ (x₁ - x₂ ≥ 2)
▪ - (x₁ ≥ 4)
,
:
• x₁ = 4, x₂ = 2
• Z = 2
•
•
:
o x₁
o x₂
o
37
Easy2Siksha
8. - -
:
0.20
0.05
0.20
0.25
500 200
:
,
:
• :
•
• :
o 500
o 200
(0.20, 0.05, 0.20, 0.25) "- " " "
:
:
• 1 0.20
• 1 0.20
:
• 1 0.05
• 1 0.25
2.
:
• ()
38
Easy2Siksha
•
,
3.
:
• = X₁
• = X₂
:
1. : ₁ = 0.20X₁ + 0.05X₂ + 500 ( : =
+ + )
2. : X₂= 0.20X₁ + 0.25X₂ + 200 ( : =
+ + )
4.
:
1: X₁ - 0.20X₁ - 0.05X₂ = 500 0.80X₁ - 0.05X₂ = 500
2:-0.20X₁ + X₂ - 0.25X₂ = 200 -0.20X₁ + 0.75X₂ = 200
: 0.80X₁ - 0.05X₂ = 500 ( 1) -0.20X₁ + 0.75X₂ = 200 ( 2)
:
1 4 :3.20X₁ - 0.20X₂ = 2000
2 1 :-0.20X₁ + 0.75X₂ = 200
: 3X₁ + 0.55X₂ = 2200
2 :0.75X₂ = 200 + 0.20X₁ X₂ = (200 + 0.20X₁)/0.75 X₂ = 266.67 + 0.267X₁
1 : 0.80X₁ - 0.05(266.67 + 0.267X₁) = 500 0.80X₁ - 13.33 - 0.013X₁ =
500 0.787X₁ = 513.33 X₁ = 665
X₂ :X₂ = 266.67 + 0.267(652.26) X₂ = 266.67 + 174.15 X₂ = 440.82
5.
:
• (X₁)= 652.26 (2 )
• (X₂)= 440.82 (2 )
39
Easy2Siksha
6.
:
: 0.20(652.26) + 0.05(440.82) + 500 = 652.26 130.45 + 22.04 + 500 = 652.49
( )
: 0.20(652.26) + 0.25(440.82) + 200 = 440.82 130.45 + 110.21 + 200 = 440.66
(
)
7.
:
(652.26 ):
• 500 '
• 130.45 (652.26 20%)
• 22.04 (440.82 5%)
(440.82 ):
• 200 '
• 130.45 (652.26 20%)
• 110.21 (440.82 25%)
8. -
:
1. (500 ) ,
652.26
:
o
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o
2. (200 ) , 440.82
:
o
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40
Easy2Siksha
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3.
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1. :
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2. :
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3. :
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4.
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1. :
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2. - :
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3. :
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41
Easy2Siksha
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4.
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1. :
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3. - :
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4.
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• 500
• 200
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42
Easy2Siksha
,
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